Giúp học sinh thành thạo bài “Khoảng cách” trong hình học không gian

Những lưu ý chung

Hiện trong sách giáo khoa Hình học 11, cả cơ bản và nâng cao và cơ bản đều viết bài "Khoảng cách" rất đơn giản, nhưng ngược lại, bài tập thì lại không hề đơn giản đối với học sinh.

Nhiều học sinh cho biết không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia....Một số học sinh khá hơn thì mày mò tìm ra được cách giải bài toán theo kiểu thử sai, có khi được khi không. Một số học sinh khác gần như không có “lối đi” cho loại bài toán này.

Trước thực tế trên, cô Lê Thị Thúy Ngà, Trường THPT Hưng Yên (tỉnh Hưng Yên) cho biết: Nếu người dạy chỉ đưa ra định nghĩa như sách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập ví dụ thì chắc chắn không nhiều học sinh có thể làm được.

Nếu dạy hết các định nghĩa trong các mục 1, 2, 3 sau đó cho học sinh làm bài tập áp dụng trong mục 4 thì học sinh sẽ rất lúng túng.

Học sinh lúng túng khi tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P): Nó sẽ nằm trên đường thẳng nào? tại sao?

Giải quyết vấn đề trong thực tế giảng dạy, cô Ngà đã bổ sung, hệ thống các kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt như: Quan hệ song song, vuông góc trong không gian.

Xây dựng các bước tính từng loại khoảng cách; hướng dẫn một số bài toán khoảng cách trong sách giáo khoa. Sau mỗi bài toán đều có nhận xét, củng cố, chỉ ra những sai lầm dễ gặp của học sinh và phát triển mở rộng (nếu có thể) giúp học sinh ghi nhớ và phát triển tư duy năng lực sáng tạo.

Lưu ý sử dụng phương pháp phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú đam mê phương pháp mới cho học sinh; có kiểm tra đánh giá để rút kinh nghiệm, từ đó đưa ra phương pháp phù hợp hơn.

Triển khai trong từng bài làm cụ thể

Cô Lê Thị Thúy Ngà đồng thời chia sẻ kinh nghiệm trong giảng dạy cũng như những lưu ý với học sinh về nội dung “Khoảng cách” trong hình học không gian ở từng dạng bài cụ thể.

Khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng

Phần này chỉ lưu ý học sinh: Muốn tính được độ dài của đoạn MH, người ta thường xem nó là chiều cao của tam giác MAB. Nếu tam giác MAB vuông tại M thì tính độ dài MH như thế nào? 

Trả lời câu hỏi này có thể nhớ lại hệ thức trong tam giác vuông. Nếu tam giác cân tại M thì H là trung điểm của AB. Nếu tam giác thường thì tính diện tích tam giác và độ dài AB, từ đó suy ra độ dài MH.

Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng

Sau khi đưa ra định nghĩa, giáo viên cho 1 ví dụ. Chắc chắn là nhiều học sinh sẽ lúng túng không biết điểm H nằm trên đường nào.

Giáo viên yêu cầu học sinh tìm chân đường cao kẻ từ đỉnh của hình chóp đều xuống mặt phẳng đáy, tương tự cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau; từ đó nhấn mạnh cho học sinh ghi nhớ trường hợp này.

Tiếp đó, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại 3 tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc. Hỏi học sinh: Tính chất nào có thể sử dụng trong việc kẻ đường vuông góc xuống mặt phẳng?

Học sinh sẽ phát hiện ra tính chất 2 (hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặt phẳng kia).

Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ "Các bước xác định khoảng cách từ 1 điểm M đến 1 mặt phẳng (P)" như sau:

Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P).

Tìm giao tuyến a của (P) và (Q).

Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a. Khi đó d(M;(P)) = MH.

Cô Nga cho biết, khi chưa được hướng dẫn các bước tiến hành của bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, học sinh lúng túng không biết dựng khoảng cách và nhiều em không làm được bài dẫn đến chán nản và cho rằng quá khó.

Sau khi phân tích hướng dẫn các em tự đưa ra các bước tiến hành dựng khoảng cách dựa trên những kiến thức đã có của bản thân trong các tiết học trước, học sinh dần làm từng bước và kết thúc được bài toán.

Bước làm khó nhất của bài toán bây giờ chính là tìm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho. Các em có thể tự làm được các bài trong sách giáo khoa và tiến đến các bài toán khó hơn.

Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và một mặt phẳng song song

Với dạng này, cô Nga đưa ra ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD).

Hầu như học sinh đều đổi khoảng cách giữa AB và mp(SCD) thành khoảng cách từ A (hoặc B) đến (SCD). Sau đó tiến hành theo các bước tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.

Nhưng việc dựng mặt phẳng qua A và vuông góc với (SCD) là hơi phức tạp đối với một số học sinh, một số khác dựng được mặt phẳng này nhưng hình vẽ rất rối.

Giáo viên gợi ý cho học sinh: Đã có sẵn 1 mặt phẳng vuông góc với (SCD) (theo ví dụ 3), đó là mặt nào? từ đó gợi ý cho em đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách từ điểm nào tới (SCD).

Qua ví dụ cụ thể trên học sinh có thể dần hình thành các bước làm để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song như sau:

Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P)

Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành (Q") chứa a và song song với (Q))

Tìm giao tuyến ( ) của (P) và (Q).

Trong (Q): kẻ MH (H ) . Khi đó MH (P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) = MH

Nếu theo các bước đó, ta dễ dàng biết được khoảng cách trong ví dụ trên nên đổi thành khoảng cách từ M ( trung điểm của AB) đến (SCD) chứ không nên đổi thành kc từ A hay B đến (SCD).

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Các bước làm được tiến hành tương tự khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song…

Mở rộng bài toán khoảng cách

Trong bài toán khoảng cách giữa 1 đường và một mặt song song, ta đã biết đổi khoảng cách từ A đến mp(P) thành khoảng cách từ B đến mp(P) khi AB song song với (P) và dễ dựng, dễ tính khoảng cách từ B đến (P) hơn nhiều k/c từ A đến (P).

Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên quan giữa hai khoảng cách này không? Yêu cầu học sinh so sánh trong các trường hợp đặc biệt sau:

Trường hợp thứ nhất M là trung điểm của AB. Học sinh có thể suy ra được hai khoảng cách bằng nhau (hai tam giác AHM và BMK bằng nhau)

Trường hợp thứ hai AB cắt (P) tại M và AB= 2MB Dựa vào định lí Ta lét có thể suy ra khoảng cách từ A đến (P) bằng 3 lần khoảng cách từ B đến (P).

Từ đây, ta có thể tính được khoảng cách từ B đến (P) nếu biết khoảng cách từ A đến (P).