Điểm ấn tượng nhất của bất đẳng thức là có rất nhiều bài toán khó, thậm chí là rất khó làm cho học sinh phải e ngại. Nó chỉ thực sự gây hứng thú đối với những học sinh yêu thích toán học, đam mê sự sáng tạo, tìm tòi.
Mặt khác bất đẳng thức lại có khả năng to lớn trong việc rèn luyện năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự.
Với thầy Đinh Văn Chuẩn (Trường THPT Mỹ Hào - Hưng Yên), qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức, thầy đã rèn luyện năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh một cách rất hiệu quả.
Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán
Theo thầy Chuẩn, chứng minh bất đẳng thức là những bài toán không có một thuật toán nào để giải, đòi hỏi học sinh phải luôn tư duy, động não.
Vì vậy, khi dạy những bài chứng minh bất đẳng thức, giáo viên hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đồng thời, biết đề ra cho học sinh, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ của từng đối tượng.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G. Pôlya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán.
Bước 2: Tìm cách giải
Bước 3: Trình bày lời giải
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức:
1. Phương pháp biến đổi tương đương.
2. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức cổ điển.
3. Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai.
4. Phương pháp quy nạp.
5. Phương pháp phản chứng.
6. Phương pháp lượng giác.
7. Phương pháp hình học.
8. Phương pháp hàm số.
9. Phương pháp làm trội.
10. Phương pháp so sánh.
11. Phương pháp dùng tính chất tỉ số.
12. Phương pháp đổi biến số.
Trong các bước của phương pháp tìm lời giải, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự thường được sử dụng trong hai bước: Tìm cách giải và nghiên cứu sâu lời giải.
Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳng thức
Thầy Đinh Văn Chuẩn cho biết, các bài tập toán học ở nhà trường phổ thông có thể chia làm hai loại: Loại có thuật toán để giải và loại chưa có thuật toán để giải.
Bài tập chứng minh bất đẳng thức thuộc về dạng bài tập chưa có thuật toán để giải. Để tìm cách giải dạng toán này, có thể hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự nhưng đơn giản hơn, mò mẫm dự đoán thử xét một vài trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó liên quan.
Sau khi tìm được lời giải, học sinh cần kiểm tra lời giải. Kiểm tra lại lời giải bài toán tức là xem xét lời giải có sai lầm hay thiếu sót gì không.
Sai lầm khi chứng minh BĐT thường bắt nguồn từ việc vận dụng các BĐT cổ điển mà không để ý đến điều kiện để BĐT đúng hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ BĐT này suy ra BĐT kia.
Kiểm tra lại lời giải cũng có thể bằng cách đặc biệt hóa kết quả tìm được để xem xét tính đúng sai của kết quả bài toán thường là những bài toán tổng quát từ một bài toán cho trước nào đó.
Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự nghiên cứu lời giải bài toán chứng minh bất đẳng thức
Thầy Đinh Văn Chuẩn cho rằng, sau bước tìm cách giải, học sinh thường bỏ qua bước nghiên cứu sâu lời giải.
Giáo viên cần giúp học sinh làm quen và tập luyện một cách có ý thức bước nghiên cứu lời giải trên hai khía cạnh: Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải và nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Ngoài việc nghiên cứu đào sâu các lời giải của một bài toán cụ thể, giáo viên còn có thể giúp học sinh vận dụng cách giải của bài toán ban đầu cho một lớp các bài tập khác. Đây có thể xem như sự khái quát hóa về phương pháp.
Hệ thống hóa mẫu nhóm bài toán
Hướng thứ nhất: Chọn bài toán khởi đầu để suy diễn ra một nhóm bài toán có liên quan dựa trên việc khai thác kết quả và lời giải bài toán ban đầu. Các thao tác tư duy sử dụng như phân tích, khái quát hóa, tương tự,… Sau đó đặc biệt hóa để tạo ra những bài toán mới.
Hướng thứ hai: Chọn một nhóm bài toán có những điểm tương đồng nào đó để tập hợp thành hệ thống. Thao tác tư duy chủ yếu sử dụng là tương tự hóa.
Quán triệt tư tưởng chỉ đạo của việc rèn luyện khái quát hóa
Lưu ý của thầy Đinh Văn Chuẩn, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
Trên cơ sở so sánh những đối tượng, hiện tượng riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, kết hợp với trừu tượng hóa để tách đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất làm cơ sở cho việc mở rộng và sáng tạo những vấn đề mới, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát với mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa.
Để phân tích vấn đề một cách toàn diện, thể hiện ở nhiều khía cạnh khác nhau cần chú trọng hai khía cạnh:
Phân tích các khía cạnh, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều góc độ khác nhau để khái quát hoá hoặc xét các vấn đề tương tự.
Phân tích, khai thác sâu lời giải của bài toán, tìm nhiều lời giải khác nhau và phân tích, khai thác lời giải đó.
Với những bài toán có nhiều cách giải, không chỉ dừng lại ở chỗ so sánh các cách giải này với nhau để chọn ra cách giải ngắn nhất, dễ hiểu nhất mà còn phải biết phân tích tác dụng của từng cách giải.
Có cách giải khó hoặc không tìm ra hướng suy nghĩ để nâng lên thành bài toán tổng quát.
Có lời giải tuy dài và phức tạp nhưng lại có thể áp dụng để giải bài toán tương tự từ đó đề xuất ra được bài toán tổng quát, thì đó là một lời giải hay và cần được chú ý hơn một lời giải tuy ngắn gọn, nhưng chỉ áp dụng cho những bài toán cụ thể.
Với mỗi cách giải khác nhau, cần khai thác sâu để thấy được tác dụng của mỗi lời giải đó.
Rèn luyện năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự là một quá trình lâu dài cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này qua năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như trong hoạt động ngoại khóa.
Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc viết báo toán, làm những bài tập chuyên đề với những đề toán tự sáng tác, khai thác từ các bài tập đã giải để đề xuất những kết quả mới.
