Phương pháp giải các dạng toán về nhị thức Newton

Với nhiều năm kinh nghiệm, giáo viên Hà Biên Thùy (Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Điện Biên) chia sẻ phương pháp giải các dạng toán về nhị thức Newton. Những chia sẻ này trang bị cho học sinh các kỹ năng cơ bản để xử lí khi gặp các bài tập về nhị thức Newton.

Dạng 1: Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Bài toán thường gặp với các dạng câu hỏi: Tìm hệ số của x^k trong khai triển, hoặc tìm số hạng không chứa biến trong khai triển, hoặc số hạng thứ k trong khai triển hoặc các câu hỏi khác liên quan đến hệ số trong một khai triển nhị thức Newton đã cho.

Khi đó ta sẽ thực hiện theo các bước.

Bước 1: Khai triển nhị thức Newton ở dạng tổng quát hoặc ở dạng khai triển.

Bước 2: Tìm dạng số hạng tổng quát của khai triển kí hiệu: T_k+1 = C_n^k.a^n-k.b^k. Rút gọn số hạng tổng quát với số mũ thu gọn của các biến có trong khai triển.

Bước 3: Căn cứ và yêu cầu của bài toán để đưa ra phương trình tương ứng với giái trị của k. Giải phương trình tìm k thỏa mãn: 0 nhỏ hơn hoặc bằng k, k nhỏ hơn hoặc bằng n.

Bước 4: Thay giá trị k vừa tìm được và số hạng tổng quát và trả lời đúng yêu cầu của bài toán.

Dạng 2: Xác định số mũ trong khai triển và tìm hệ số có điều kiện

Dựa vào điều kiện cho của bài để tìm số mũ của khai triển thông thường là giải phương trình chứa tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp hoặc sử dụng một trong các đẳng thức tổ hợp đặc biệt (đã nêu trong phần cơ sở lí luận).

Cần chú ý số mũ của khai triển luôn là số nguyên dương. Sử dụng các bước của dạng 1 để tìm hệ số của x^k trong khai triển với số mũ của khai triển đã tìm được.

Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức tổ hợp bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton

Với dạng này, ta vận dụng khai triển (a + b)ⁿ  hoặc đặc biệt ta có thể dùng khai triển (1 + x)ⁿ , sau đó chọn cặp giá trị a, b thích hợp hoặc giá trị của x thích hợp ta được đẳng thức tổ hợp tương ứng.

Chú ý: Thấy tổ hợp C_n^k ứng với nhị thức (1 + x)ⁿ; thấy tổ hợp C_2n^k ứng với nhị thức (1 + x)²ⁿ;  Để khử các tổ hợp chẵn (lẻ), chọn hai giá trị đối nhau của x trong cùng một khai triển của nhị thức với đa thức biến x rồi cộng hai hệ thức.

Vận dụng khai triển (1 + x)ⁿ . (1 + x) ^m  = (1 + x) ^{n + m} với n, m thuộc N^* bằng cách so sánh hệ số của x^k ở hai vế ta được đẳng tổ hợp tương ứng. Chú ý hệ số của số hạng trong khai triển vế trái có dạng tích của hai tổ hợp: C_n^k.C_mⁱ.

Dạng 4: Phối hợp đạo hàm và tích phân trong việc sử dụng nhị thức Newton; tính tổng hữu hạn.

Phương pháp chung cho dạng này là: Chọn một hàm số f (x) thích hợp với đầu bài. Hàm số này thường biết ngay dạng của nó dựa vào chính các biểu thức cho trong đầu bài.

Sau khi chọn được hàm số thích hợp, ta tiến hành lấy đạo hàm hoặc thích phân hàm số đó theo hai cách: Lấy đạo hàm hoặc tích phân trực tiếp hàm số. Lấy đạo hàm hoặc tích phân sau khi đã sử dụng khai triển nhị thức Newton hàm số đã chọn.

Với phép lấy đạo hàm, chọn một giá trị x phù hợp thay vào hai biểu thức rồi tính đạo hàm của hàm số tại giá trị đó. Với phép lấy tích phân thì ta chọn cận tích phân thích hợp rồi tính kết quả theo hai cách trên. Sau đó, đồng nhất hai kết quả ta sẽ giải được bài toán ban đầu.