Gỡ khó với các bài toán tính tuổi

Trong bồi dưỡng học sinh năng khiếu tham gia thi Violympic giải toán qua mạng internet do Bộ GD&ĐT tổ chức, đa số giáo viên gặp khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải “Các bài toán tính tuổi”.

Theo cô Đỗ Thị Phấn - Hiệu trưởng Truờng tiểu học An Tảo (Hưng Yên), để giải được dạng toán này đòi hỏi học sinh phải huy động tối đa các kiến thức toán tổng hợp mà mình đã học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa và sử dụng thành thạo, linh hoạt các phương pháp giải toán

Các dạng bài toán tính tuổi

Các bài toán nâng cao về tính tuổi được phân dạng thành 6 dạng:

Dạng 1: Cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người;

Dạng 2: Cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người;

Dạng 3: Cho biết tỉ số tuổi cho hai người ở 2 thời điểm khác nhau;

Dạng 4: Cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người;

Dạng 5: Cho biết tỉ số tuổi của 2 người ở 3 thời điểm khác;

Dạng 6: Các bài toán tính tuổi với số thập phân;

Dạng 7: Một số bài toán khác.

Khi giải các bài toán nâng cao về tính tuổi, giáo viên giúp học sinh củng cố lại kiến thức về: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu (lớp 4); tìm hai số khi tổng và tỷ (lớp 4); tìm hai số khi biết hiệu và tỷ (lớp 4); số thập phân, phân số (lớp 5); cấu tạo số, các dạng biểu thức chưa hai hoặc ba chữ số…

Trong quá trình tìm tòi cách giải các bài toán nâng cao về tính tuổi, theo cô Đỗ Thị Phấn, giáo viên giúp học sinh nhận biết và nắm chắc chìa khoá để giải là: Hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian; mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi.

Trong các bài toán về tính tuổi của A và B (hai người) thường gặp các đại lượng sau: Tuổi của A và B; hiệu số tuổi của A và B; tổng số tuổi của A và B; các thời điểm của A và B (trước đây, hiện nay, sau này).

Phương pháp giải

Dạng cho biết hiệu số tuổi và tỷ số tuổi của A và B”

Giáo viên hướng dẫn làm như sau: Hiệu số phần bằng nhau; tìm giá trị 1 phần: Lấy hiệu của hai số chia cho hiệu số phần bằng nhau.

Tìm tuổi người thứ nhất: Lấy giá trị 1 phần nhân với số phần của số thứ nhất.Tìm tuổi của người thứ hai: Lấy giá trị 1 phần nhân với số phần của số thứ hai (Tuy nhiên, học sinh có thể giải gộp)

Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán này giáo viên nên hướng dẫn học sinh giải bài toán này bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. Đây là một phương pháp giúp cho học sinh khi phân tích một bài toán cần phải biết lập được mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng trong bài toán đó.

Muốn làm việc này, ta thường dùng các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm) để minh họa các quan hệ đó. Ta phải tìm độ dài của các đoạn thẳng và cần sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng tạo một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải toán sao cho hợp lý khoa học.

Bên cạnh phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán dạng 1, cũng có thể giải các bài toán dạng 1 bằng thủ thuật. Đó là thủ thuật giải toán bằng cách tưởng tượng ra tình huống không có thật.

Khi ta gặp các bài toán có những mối quan hệ và số liệu tương đối phức  tạp thì ta có thể nghĩ tới một hướng giải quyết theo các hướng sau:

Tưởng tượng ra một tình huống hoặc một bài toán mới có một số đặc điểm giống như bài đã cho, song các mối quan hệ thì đơn giản hơn, quen thuộc hơn, các số liệu dễ tính toán, do đó giúp cho học sinh dễ giải hơn.

Giải tình huống hoặc bài toán đơn giản hơn mà ta tưởng tượng ra từ đây suy ra đáp số của bài toán khó hơn.

Dạng cho biết tổng số tuổi và tỉ số tuổi của hai người

Cách giải: Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu diễn tổng và tỉ số tuổi của 2 người ở thời điểm đã cho.

Tổng số tuổi của hai người được biểu thị bằng tổng  số phần bằng nhau trên sơ đồ đoạn thẳng.

Tìm số tuổi ứng với một phần nhau trên sơ đồ. Tìm sơ đồ của mỗi người.

Dạng cho biết tỷ số tuổi của hai người ở hai thời điểm khác nhau

Cách giải: Vẽ hai sơ đồ đoạn thẳng biểu thị mối quan hệ của hai người ở mỗi thời điểm rồi dựa vào đó phân tích để tìm ra lời giải.

Ngoài việc dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh lựa chọn cách giải bằng phương pháp đặt ẩn số hoặc “thủ thuật rút về đơn vị”.

Phương pháp đặt ẩn số cho giá trị phải tìm giúp cho học sinh dễ tìm ra đáp số, nhưng đòi hỏi học sinh phải biết bám sát đầu bài và giải tìm y thành thạo.

Phương pháp “Thủ thuật rút về đơn vị” là phương pháp dùng khi gặp bài toán chưa tìm ra ngay đáp số của nó mà chỉ có thể tính ngay được một số giá trị đặc biệt nào đó.

Dựa vào giá trị này ta sẽ suy ra được số phải tìm. Một trong giá trị đặc biệt ấy là giá trị tương ứng với một đơn vị hay một phần bằng nhau của đại lượng nào đó hoặc chính bản thân đại lượng ấy.

Nói cách khác có thể hiểu đơn vị ở đây là số 1 hoặc là “một giá trị của một đại lượng nào đó”.

Dạng cho tỷ số tuổi của hai người ở 3 thời điểm khác nhau

Cách giải: Dùng sơ đồ độ tuổi để biểu diễn tuổi mối quan hệ tuổi hai người ở từng thời điểm đã cho.

Dạng các bài toán tính tuổi với số thập phân

Cách giải: Trước hết, dẫn dắt bài toán về tính tuổi với các số nguyên sau đó sử dụng các phương pháp trên để giải.

Đa dạng, sáng tạo trong sử dụng các phương pháp giải

Muốn giúp học sinh có khả năng giải quyết nhanh bài toán nâng cao về tính tuổi, cô Đỗ Thị Phấn cho rằng, người giáo viên phải cung cấp cho học sinh các phương pháp đa dạng, sáng tạo, điều đó giúp cho các em có thể giải một bài toán với nhiều phương pháp, rút ra cách giải nhanh nhất.

Hệ thống các phương pháp đó là: Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng; phương pháp chia tỷ lệ; phương pháp phân tích cấu tạo số; phương pháp rút về đơn vị; phương pháp “thủ thuật tạo ra tình huống không có thật”; phương pháp lưu đồ; phương pháp tìm ẩn…

Thủ thuật giải toán bằng cách gắn giá trị sai rồi điều chỉnh cho đúng; thủ thuật thay thế hai đại lượng cùng giá trị…

Đây chính là một hệ thống các phương pháp giúp học sinh nhanh chóng tìm ra kết quả.