Ai có văn học thì tham dự các kỳ thi hương, thi hội, thi đình, đỗ đạt sẽ được bổ quan. Ai muốn làm lại thì cũng phải thi hai môn là viết chữ và tính toán.
Chính quyền thời nào cũng vậy, ngoài các quan làm lãnh đạo, luôn cần có các lại viên để giúp việc. Thời phong kiến, lại viên là người giúp các quan những công việc về sổ sách, giấy tờ, như làm công văn, ghi chép lời khai, viết bản án, tính toán sưu thuế...
Trong xã hội phong kiến, người làm việc lại không được coi trọng. Dân gian chỉ hay truyền tụng câu tục ngữ “Một người làm quan cả họ được nhờ” để khuyến khích con cháu ra làm quan chứ không thấy khuyên đi làm lại. Làm lại cũng không có cơ hội thăng tiến như làm quan, ai làm nghề này là làm suốt đời và cũng chỉ quanh quẩn ở trong nha môn của mình. Nhưng so với việc làm “bạch đinh”, thì làm lại vẫn có được cuộc sống sung túc hơn, nên cũng không ít người muốn ra làm lại.
Làm lại tất nhiên phải qua học hành, đọc thông viết thạo. Ngoài ra, cũng phải biết tính toán, vì bất kể thời nào thì chính quyển cũng cần phải tính cộng tổng số ruộng đất, hộ khẩu, nhân khẩu, tính diện tích các đám ruộng, tính số thuế phải thu của từng địa phương… cho đến các việc khó hơn như thống kê ngân sách, quốc khố, dự trù binh lương khi có chiến tranh.
Tất cả các công việc liên quan đến “việc Hộ”, đều cần những người giỏi tính toán, như đắp đê thì tính thể tích con đê để tính số đất rồi ra giá thành, nhân công. Xây thành trì, cung điện cũng phải tính toán số gạch, ngói, gỗ, đá mà ra kinh phí... Ngoài ra còn những việc rất phức tạp khác về toán, như tính lịch, nghiên cứu quy luật thiên văn, dự báo thời tiết…
Mặc dù vậy, thì so với ngạch quan, ngạch lại vẫn bị đánh giá rất thấp. Trong “Lịch triều hiến chương loại chí”, nhà bác học Phan Huy Chú đúc kết: “Xét ra chức nha, lại cho là hèn thấp. Việc kiểm soát sổ sách không giao cho kẻ sĩ. Kẻ sĩ làm văn, cho việc lại là ti tiện nên không nhúng tay vào”.
Các quan không nhúng tay nên nhà nước phải tuyển lại viên. Cho nên đọc trong sử sách, ta thấy rằng thời nào cũng phải tuyển lại viên. Theo “Đại Việt sử ký toàn thư”, chép sự kiện năm Đinh Tỵ, niên hiệu Anh Vũ Chiêu Thắng thứ 2 (1077), thời vua Lý Nhân Tông trị vì thì vào tháng 2, triều đình “thi lại viên bằng phép viết chữ, phép tính và hình luật”.
Còn từ thời Trần về sau, chỉ thấy viết thi lại viên bằng viết chữ và tính toán. Như “Đại Việt sử ký toàn thư” chép kỳ thi năm 1261, đời vua Trần Thánh Tông, ai thi đỗ được sung vào chức Nội lĩnh sử. Các kỳ thi chọn lại viên liên tiếp được tổ chức trong thời Trần, thời Lê. Kỳ thi lại viên đời vua Hồ Hán Thương cũng có môn Toán.
Theo bộ sử “Khâm định Việt sử thông giám cương mục”, chi tiết thể lệ thi lại viên như sau: “Ai viết chữ tốt thì thi 3 lối chữ: lối viết chữ lớn, lối viết chữ nhỏ và lối viết chữ lệch (ý nói lối chữ viết tờ chiếu, tờ sắc); người ứng thí phải viết một bài thơ Đường luật. Ai tính toán thạo thì hỏi các phép bình phân và sai phân (tức là chia theo tỷ lệ đều nhau và chia theo tỷ lệ khác nhau)”.
Các kỳ thi này không tổ chức định kỳ, và do số lượng lại viên ổn định nên thường thì mãi 10 năm hoặc 15 năm mới có một kỳ thi chọn lại viên. “Cương mục” cũng cho biết, vào khoảng niên hiệu Chính Hòa (đời vua Lê Hy Tông, từ năm 1680 đến năm 1705), triều thần bàn định 12 năm một lần thi lại viên; khoảng niên hiệu Long Đức (đời vua Lê Thần Tông, từ 1732 - 1735) định lại 6 năm một lần thi, nhưng sau vì nhiều việc, nên chưa mở khoa thi lần nào. Đến năm 1762, đời vua Lê Hiển Tông bàn định cứ 12 năm thi một lần, giữ làm thể thức thường hành. Cũng năm này, triều đình ra lệnh thải bớt hạng lại điển thừa ở các nha môn trong kinh, ngoài trấn, để nha môn nhiều việc và nha môn ít việc được quân bình.
Các thời kỳ Trần, Lê đều có các cuộc thống kê hộ khẩu và ruộng đất trên toàn quốc, cho nên Toán học luôn được các lại viên ứng dụng trong việc tính toán, tổng hợp số ruộng đất toàn quốc, lập thành sổ sách điền địa từng lộ, phủ, châu, huyện. Năm 1437, đời vua Lê Thái Tông, sử ghi rõ kết quả một kỳ thi thi Toán với 690 người trúng cử được bổ các chức ở các nha môn.
Việc thi lại viên có môn Toán được tiếp nối cho đến tận vị vua gần cuối của nhà Lê là vua Lê Hiển Tông. Kỳ thi này diễn ra vào tháng 5 năm 1762, vẫn với hai môn viết chữ và tính toán. Kết quả, về thi viết chữ, lấy 978 người trúng cách, về thi tính toán lấy 120 người trúng cách. Như vậy, số người đỗ về tính toán so với số đỗ về viết chữ chỉ chiếm tỷ lệ 1:8,15.
Đặc biệt kỳ thi năm 1507, đời vua Lê Uy Mục tổ chức thi Toán ở sân điện Giảng Võ có tới hơn 3 vạn thí sinh dự thi. “Cương mục” viết rằng: “Tháng 12, mùa đông, thi khảo quân và dân về môn viết chữ và tính toán. Nhà vua sai các quan Nguyễn Quang Mĩ, Binh bộ thượng thư; Nguyễn Tinh, Lại khoa đô cấp sự trung,và Nguyễn Trọng Đạt, giám sát ngự sử, tổ chức kỳ thi khảo quân và dân về môn viết chữ và tính toán ở sân điện Giảng Võ. Người ứng thi hơn ba vạn, lấy bọn Nguyễn Tử Kỳ gồm 1519 người trúng tuyển; trong số này trích lấy những người trội hơn được 144 người”.
“Toàn thư” không chép chi tiết về kỳ thi đại trà có 3 vạn người thi này, mà chỉ chép về kỳ thi phúc khảo từ 144 người, chọn lấy 25 người trội nhất với Nguyễn Tử Kỳ đứng đầu và cho biết số thí sinh trội nhất này cho sungvào Hoa Văn học sinh, ngoài ra đều cho sung làm lại dịch các nha môn trong kinh và ngoài các đạo.
