Cô Đinh Thị Hương Giang - Giáo viên Trường THPT Thạch Thành 2 (Thanh Hóa) - cho biết: Mặc dù trong quá trình dạy học, giáo viên đã trình bày cho học sinh các phương pháp thường sử dụng để giải các hệ không mẫu mực như phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số và phương pháp đánh giá, ... Tuy nhiên, học sinh thường gặp khó khăn khi lựa chọn phương pháp giải.
Thường các em cứ thấy có căn bậc hai là bình phương hai vế mà không biết có đưa ra được kết quả hay không, giữa hai phương trình của hệ không biết biến đổi phương trình nào thì thuận lợi hơn, không biết phân tích xem thế ẩn nào thì đơn giản hơn…
Chính vì thế việc biến đổi của học sinh thường mất nhiều thời gian mà chưa hẳn đưa ra được kết quả.
Khi gặp bài toán giải hệ phương trình, cô Đinh Thị Hương Giang cho biết mình thường yêu cầu học sinh trước khi giải phải dừng lại quan sát, phân tích các đặc điểm của hệ để lựa chọn cách giải.
Chẳng hạn, với các hệ có một phương trình là bậc nhất hoặc bậc 2 đối với hai ẩn, ta sẽ chọn phương pháp biến đổi tương đương, tìm cách rút ẩn này theo ẩn kia để thế vào phương trình còn lại (đối với phương trình bậc 2 theo ẩn x thì phải có biệt thức = g2(y) mới tính được).
Trong trường hợp cả hai phương trình trong hệ biểu diễn qua các đại lượng u = f(x; y) ; v = g(x; y), một cách đơn giản, ta có thể chọn phương pháp đặt ẩn phụ (trong một số bài toán ẩn phụ sẽ xuất hiện sau một vài phép biến đổi tương đương).
Nếu một phương trình trong hệ (hoặc từ 2 phương trình của hệ) dẫn đến có dạng f(x) = f(y) hoặc f(x) = 0 ta có thể dùng phương pháp hàm số…
Tất nhiên mỗi bài toán có thể giải theo nhiều cách khác nhau và có thể phải vận dụng nhiều phương pháp, điều đó còn yêu cầu học sinh ngoài việc trang bị cho mình những kỹ năng và kiến thức cần thiết phải có thêm một chút “nhạy cảm toán học”.
Đối với hệ phương trình không mẫu mực, theo cô Đinh Thị Hương Giang, ta thường sử dụng những phương pháp giải sau:
Phương pháp biến đổi tương đương
Trong phương pháp này, chủ yếu sử dụng các kỹ năng biến đổi tương đương phương trình nhằm đưa một phương trình trong hệ về dạng đơn giản (có thể rút ẩn này theo ẩn kia) rồi thế vào phương trình còn lại.
Thông thường, với phương pháp này chúng ta thường sử dụng đối với những hệ phương trình mà trong đó có một phương trình trong hệ là bậc nhất hoặc bậc hai đối với một ẩn (lúc đó có thể xem ẩn còn lại là tham số) hoặc một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích (có thể còn phải thông qua một vài phép biến đổi tương đương đơn giản).
Dạng 1: Hệ phương trình trong đó có một phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với một ẩn (ẩn còn lại xem là tham số)
Dạng 2: Hệ phương trình trong đó có một phương trình trong hệ có thể biến đổi về dạng tích, từ đó rút được ẩn này theo ẩn kia để thế vào phương trình còn lại.
Phương pháp đặt ẩn phụ
Tùy từng hệ phương trình có thể lựa chọn để đặt một ẩn hoặc hai ẩn phụ. Điều quan trọng là việc phát hiện được ẩn phụ có ngay trong mỗi phương trình của hệ hoặc xuất hiện sau một só phép biến đổi đơn giản (chia cho một biểu thức khác không, sử dụng hằng đẳng thức…)
Phương pháp hàm số
Phương pháp hàm số thường được sử dụng để giải các hệ phương trình mà từ một (hoặc hai) phương trình trong hệ dẫn tới f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) trong đó hàm số f đơn điệu trên một khoảng xác định.
Phương pháp đánh giá
Với phương pháp này cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản.
Cô Đinh Thị Hương Giang cho rằng, những phương pháp trên, ngoài việc giúp học sinh định hướng tốt khi giải các bài toán về hệ không mẫu mực, nó còn giúp các em rèn luyện khả năng phân tích, phán đoán, tư duy logic .
Từ đó, học sinh sẽ hứng thú hơn khi học môn toán. Tuy nhiên, trong giải toán, học sinh cần phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học để có thể kết hợp chúng trong nhiều bài toán khác.
Bên cạnh đó, đứng trước một bài toán, điều quan trọng là biết cách định hướng, phân tích để tìm ra phương pháp giải phù hợp.
