Bí quyết giải các bài toán có yếu tố trung điểm

Tổng kết của thầy Phạm Quang Thăng, khi gặp bài toán có yếu tố trung điểm, ta nghĩ ngay đến việc tạo ra đường phụ theo một trong các hướng sau:

Hướng 1: Lấy thêm đoạn thẳng mới để cùng với đoạn đã cho có chung trung điểm từ đó sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ở lớp 7, hoặc tính chất của hình bình hành ở lớp 8.

Hướng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo ra đường trung bình trong tam giác, trong hình thang, trong tứ giác nếu có nhiều đường trung bình liền nhau càng tốt, từ đó sử dụng các tính chất của các đường trung bình này.

Hướng 3: Nếu trung điểm đó là trung điểm của cạnh huyền của tam giác vuông đăc biệt lại là cạnh huyền chung của nhiều tam giác vuông thì ta kẻ thêm các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền này để sử dụng tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền trong tam giác vuông.

Hướng 4: Nếu trung điểm đó là trung điểm của dây cung của đường tròn thì ta kẻ ngay đường kính của đường tròn đi qua trung điểm đó để sử dụng tính chất của đường kính đi qua trung điểm của dây cung trong đường tròn.

Thầy Thăng đồng thời giới thiệu một số bài toán minh họa cho những kinh nghiệm mà tôi đã có được trong những năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi và cho biết: Trong chương trình toán 7 khi nghiên cứu các trường hợp bằng nhau của tam gíac để giúp học sinh nắm vững kỹ năng ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu cho học sinh các bài toán sau:

Các bài toán thường gặp

Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn lại và có độ dài bằng nửa cạnh đó.

Hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất của trung điểm bằng cách: Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM,

Khi đó hai đoạn AC và MP có chung trung điểm là N, từ các tính chất trung điểm chung ta có các cặp tam giác (ANM, CNP) và (AMP, MBC) bằng nhau dẫn đến hai đoạn MP, BC song song và bằng nhau từ đó ta có điều cần chứng minh.

Sau khi chứng minh xong, ta cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngược lại. Qua đó học sinh được hình dung tính chất đường trung bình của tam giác.

Bài toán 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đường trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Hướng dẫn cho học sinh tạo ra trung điểm M là trung điểm chung của hai đoạn BC và AD.

Khi đó sử dụng tính chất trung điểm chung ta chứng minh hai tam giác ABC và CDA bằng nhau để có hai đoạn BC và AD bằng nhau, từ đó ta có điều cần chứng minh của bài toán. Sau đó, học sinh chứng minh bài toán ngược lại

Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 60° khi và chỉ khi cạnh kề góc đó bằng một nửa cạnh huyền.

Để giải bài này ta sử dụng đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xét tam giác cân MAB khi có góc B bằng 60° suy ra MAB là tam giác đều và ngược lại, từ cạnh AB bằng nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB đều dẫn đến góc B bằng 60°.

Bài toán 4: Một tam giác có một góc bằng 60° mà hai cạnh kề góc này có một cạnh bằng một nửa cạnh kia thì đó là tam giác vuông.

Ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD xét đặc điểm của tam giác CBD với trung tuyến CA và các quan hệ đã cho ta sẽ có điều cần chứng minh.

Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến. Chứng minh góc BAM lớn hơn góc CAM khi và chỉ khi cạnh AB bé hơn cạnh AC.

Hướng làm: Xét trên hình của bài toán 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc CAM cũng như cạnh AB với cạnh AC ta đi so sánh góc ADC với góc DAC và cạnh CD với cạnh AC của tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện trong tam giác).

Bài toán 6: Chứng minh rằng: trong một tam giác độ dài đường trung tuyến luôn bé hơn nửa tổng hai cạnh còn lại.

Hướng làm: Cũng tương tự trên hình của bài toán 2, sử dụng bất đẳng thức trong tam giác của tam giác ACD ta sẽ có điều cần chứng minh.

Đến đây ta khẳng định giá trị to lớn của tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm.

Từ việc sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta đã chứng minh tính chất đường trung bình của tam giác, tứ đó ta cũng chứng minh tính chất đường trung bình của hình thang, tính chất “Đường trung bình của tứ giác”.

Bài toán 7: Chứng minh đường trung bình của hình thang song song với cạnh đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.

Hướng làm: Xét thêm trung điểm I của đường chẻo AC,Ta có IM,IN là các đường trung bình của các tam giác ADC vầ ABC

Khi đó sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được bài toán này.

Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng minh độ dài đoạn MN nhỏ hơn hoặc bằng (AB + CD): 2.

Hướng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất của hình thang ta có MN đúng bằng nửa tổng AB và CD. Còn nếu AB không song song với CD, ta cũng lấy I là trung điểm của AC.

Khi đó MI, NI là các đường trung bình của các tam giác ACD và ABD đông thời xet quan hệ ba cạnh của tam giác MNI ta có điều cần chứng minh.

Từ các bài toán 7 và bài toán 8 ta cho học sinh làm bài sau:

Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác là hình thang khi và chỉ khi đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối bằng nửa tổng hai cạnh còn lại

Cũng với tính chất đường trung bình của tam giác, ta có bài toán sau:.

Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q. lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 ta thay đổi một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh lớp 7 việc chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất đường trung bình của tam giác, đường thẳng song song, hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, . . .

Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học: Các “đường trung bình của tứ giác” gặp nhau tại trung điểm của chúng

Cũng từ bài toán 10, có bài toán tổng quát hơn sau:.

Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC. Chứng minh các đường MN, PQ, EF, GH đồng quy.

Các bài toán nâng cao và phát triển

Bài toán chứng minh

Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. Chứng minh rằng đường thẳng chứa trung tuyến AI của tam giác ABC cũng chứa đường cao của AH của tam giác AMN.

Hướng làm: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh lớp 7, và bài toán này lại được gặp ở lớp 8, nên ở lớp 7 ta dùng ngôn ngữ sau:

Do đã có trung điểm I của BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra I là trung điểm chung của hai đoạn, cụ thể là trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm của AD.

Khi đó từ tính chất trung ôiểm chung I của hai đoạn AD , BC ta có được hai đoạn CD và AB song song và bằng nhau từ đó ta có được hai tam giác ACD, MAN bằng nhau, sử dụng các góc bằng nhau của hai tam giác này và tính chất các góc tại đỉnh A ta có được AH vuông góc với MN.

Từ bài toán này ta có bài toán sau:

Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACHF, vẽ hình bình hành AEQF. Chứng minh ba đường QA, HB, DC đồng quy.

Hướng làm: Theo bài 12 ta đã có QA vuông góc với BC, ta chỉ cần chứng minh BH vuông góc với QC và CD vuông góc với QB (bằng cách xét cho các tam giác AQC , CBH bằng nhau và các tam giác AQB, BCD bằng nhau) khi đó QA, HB, DC chứa ba đường cao của tam giác QBC nên ba đường QA, HB, DC đồng quy.

Tương tự như vậy ta có các bài toán sau:

Bài toán 14: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC,Dựng về phía ngòai các hình vuông ABDE, ACHF có tâm là I, J. Chứng minh tam giác MIJ vuông cân.

Hướng làm: Hai tam giác AEC và ABF bằng nhau; hai đoạn EC, BF bằng nhau và vuông góc với nhau mà MI, MJ là các đường trung bình của hai tam giác BEC và CBF nên ta chứng minh được hai đoạn MI, MJ băng nhau và vuông góc với nhau.

Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau:

Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQ vuông cân tại Q. Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình vuông.

Hướng làm: Từ kết quả bài toán 14 ta có các tam giác IMN, INQ, IQP, IPM đều vuông cân tại I từ đó suy ra tứ giác MNQP là hình vuông.

Từ bài toán này ta lại đưa ra bài toán sau:

Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành các hình vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lượt là tâm của các hình vuông trên. Chứng minh rằng tứ giác SGHR là hình vuông.

Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà là một tứ giác bất kỳ thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài toán sau:.

Bài toán 17: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác dựng các hình vuông ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lượt là tâm của các hình vuông trên. Chứng minh rằng KS = VJ và KS vuông góc VJ.

Hướng làm: Do có V, S, J, K là trung điểm của các đường chéo hình vuông nên để sử dụng đường trung bình của tam giác ta xét thêm trung điểm I của AC. Từ kết quả bài toán 14 ta có IV, IK vuông góc và bằng nhau cũng như vậy hai đoạn IS, IJ cũng vuông góc và bằng nhau. Từ đó hai tam giácIKS và IVJ bằng nhau. Suy ra hai đoạn thẳng KS và VJ bằng nhau và vuông góc với nhau.

Đối với bài toán này việc vẽ đường phụ là quan trọng. Ngoài việc biết khai thác yếu tố trung điểm như đã nêu học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau, kiến thức về tam giác cân, tam giác đều...., đã được học vào giải bài toán.

Từ đó học sinh mới tư duy và tìm tòi lời giải. Giáo viên không nên đưa ra lời giải mà phải hướng dẫn để học sinh dần dần tìm lời giải cho mỗi bài toán.

Bài toán 18: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN, gọi E, F là trung điểm các đoạn BC, MN. Chứng minh EF song song với phân giác góc A.

Hướng làm: Trong bài toán này đã có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc lấy thêm một trung điểm nữa để cùng với hai trung điểm đã cho tao ra các đường trung bình của tam giác sẽ giúp ta giải bài toán, cụ thể như sau:

Gọi I là trung điểm của BM khi đó IE, IF là đường trung bình của các tam giác BCM và MBN, Từ tính chất đường trung bình của tam giác và giả thiết của bài toán ta có tam giác IEF cân tại I. Từ đặc điểm các góc của tam giác IEF và các góc tại đỉnh A ta có được EF song song với phân giác của góc BAC.

Ta biết từ bài toán này chúng ra có thể đưa ra nhiều yêu cầu khá hay như:

+ Chứng minh đường thẳng MN tạo với hai đường thẳng AB, AC những góc bằng nhau.

+ Khi M,N thay đổi chứng minh trung điểm của đoạn MN luôn nằm trên một đường cố định.

Bài toán 19: Chứng minh rằng trong một tam giác Trọng tâm, Trực tâm và Tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng (Đường thẳng Ơ le).

Hướng làm: Có rất nhiều cách chứng minh bài toán này, các cách đều sử dụng tính chất của trung điểm để tạo ra đường trung bình của tam giác để chứng minh: Khoảng cách từ trực tâm đến mỗi đỉnh luôn gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó (HA = 2 OM)

Sau đó lại sử dụng tính chất đường trung bình IK của tam giác GAH để chứng minh hai tam giác: GIK và GOM bằng nhau từ đó có được ba điểm G, H, O thẳng hàng.

Bài toán 20: Cho lục giác ABCDEF, có M, N, P, I, K, L lần lượt là trung điểm các cạnh: AB, CD, EF, BC, DE, FA. Chứng minh hai tam giác MNP và IKL có chung trọng tâm.

Hướng làm: Từ kết quả bài toán 10, gọi S là trung điểm đoạn BE thì hai đoạnMP và LS cũng như hai đoạn IK và SN có chung trung điểm là X và Y, khi đó NX và LY là các đường trung tuyến của các tam giác MNP và IKL, đồng thời NX và LY cũng là các đường trung tuyến của tam giác SNL mà NX và LY cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của các tam giác này. Vậy hai tam giác MNP và IKL có chung trọng tâm.

Toán quỹ tích

Bài toán 21: Cho tam giác ABC có điểm M thay đổi trên BC. Tìm quỹ tích trung điển I của AM?

Hướng làm: Bài toán này không khó, yếu tố trung điểm được khai thác rất trực quan qua một số vị trí của điểm M, nên ta nhanh chóng nghĩ đến việc tạo ra đường trung bình của tam giác và khai thác tính chất đường trung bình để giải bài toán này.

Bài toán 22: Cho góc vuông xOy. một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước thay đổi sao cho các điểm A, B luôn nắm trên các tia Ox, Oy. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB?

Hướng làm: Trong bài toán này đã có trung điểm và lại có tam giác vuông mà cạnh huyền lại có độ dài không đổi, nên ta nghĩ ngay đến việc kẻ thêm đường trung tuyến thuộc cạnh huyền rồi sử dụng tính chât trung tuyến thuộc cạnh huyền để tìm ra mối quan liên hệ giữa điểm I và điểm O đẻ có kết quả.

Bài toán 23: Cho góc vuông xOy và điểm A nằm trong góc đó, một góc vuông có đỉnh A quay xung quanh A, các cạnh góc này cắt Ox, Oy tại M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN ?

Hướng làm: Cũng như bài 33 ở trên ta nối ngay IO,IA và sử dụng tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền trong các tam giác vuông OMN, AMN để từ đó có được: IO = IA và trả lời bài toán.

Bài toán 24: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Điểm M thay đổi trên đường cao AH, đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại N. Tìm quỹ tích trung điểm I của NM ?

Hướng làm: Từ giả thiết ta có ngay MN song song với AC, do đó tam giác vuông HMN có HI là trung tuyến thuộc cạnh huyền thì HI cũng cắt AC tai trung điểm K của AC từ đó ta có I thuộc đoạn HK.

Bài toán 25: Cho hình vuông ABCD, một góc vuông đỉnh A quay xung quanh A là xAy Tia Ax cắt BC, CD tại M, N; tia Ay cắt BC, CD tại P, Q. Tìm quỹ tich trung điểm I, K của NP, MQ…