Tuy nhiên, khi gặp biến đổi lượng giác nói chung và giải phương trình lượng giác nói riêng, học sinh còn khá lúng túng, thậm chí một bộ phận lớn học sinh “sợ” nội dung này.
Trước thực tế này, thầy Nguyễn Văn Chinh - Giáo viên Trường THPT Đào Duy Từ (Thanh Hóa) - chia sẻ bí quyết giúp giáo viên và học sinh khắc phục các khó khăn trong dạy và học nội dung này
Cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác
Theo thầy Chinh, có thể mô tả cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác như sau.
Đầu tiên là nhận dạng phương trình. Nếu học sinh đã nhận dạng được phương trình cần giải thì chuyển qua biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Giáo viên cần tiến hành gợi động cơ, hướng đích cần thiết.
Kết thúc bước này, giáo viên chuyển sang giải các phương trình nhận được (thể hiện phương pháp giải).
Sau đó, kiểm tra các kết quả để bảo đảm không bỏ sót nghiệm, không thừa nghiệm, tránh các sai lầm phổ biến thường gặp.
Phân tích các sai lầm của học sinh để thu hoạch về tri thức toán học và tri thức phương pháp toán học.
Cuối cùng, xét mối liên hệ với các bài toán liên quan,mở rộng bài toán bằng tương tự,khái quát hóa.
Các hoạt động thành phần trên có liên quan mật thiết với nhau ,thường xuất hiện đan kết hoặc lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải phương trình thành các hoạt động trên giúp giáo viên nắm được cách thức tiến hành toàn bộ dạy học phương trình.
Nhận dạng phương trình
Thầy Chinh đã chia sẻ 6 hoạt động thành phần trong dạy học giải phương trình lượng giác, trong đó có 5 hoạt động quan trọng. Đó là: Nhận dạng các phương trình lượng giác; Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc; Giải phương trình nhận được; Kiểm tra kết quả; Phân tích những sai lầm phổ biến của học sinh
Những hoạt động đó nhằm giúp học sinh hiểu chứ không phải chỉ biết vận dụng máy móc; nhấn mạnh các khái niệm và kỹ năng; biết giải các bài toán đến nơi đến chốn; huy động khả năng toàn diện để giải toán và chú ý ngôn ngữ, cách trình bày...
Khi học giải phương trình lượng giác, nhiều học sinh đã nhầm tưởng sẽ học được những thuật toán tổng quát nhất cho phép giải mọi phương trình lượng giác.
Nhưng thực ra không có một phương pháp tổng quát nào. Các phương trình lượng giác trong chương trình phổ thông rất đa dạng về thể loại, phong phú về cách giải. Vì vậy, một yêu cầu quan trọng mà giáo viên phải đạt được là giúp học sinh nhận dạng được các phương trình lượng giác khác nhau và thể hiện các phương pháp giải chúng.
Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác. Chẳng hạn, sách giáo viên Đại số và giải tích 11 Ban khoa học tự nhiên, các phương trình lượng giác được phân loại thành: Phương trình lượng giác cơ bản;
Một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất, bậc hai hay phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác, phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx, phương trình đối xứng theo sinx và cosx); Những phương trình lượng giác khác.
Theo thầy Chinh, cách phân loại như vậy có ưu điểm là chi tiết, tuy nhiên chưa nhấn mạnh đến các đặc điểm về dạng thức và phương pháp giải.
Từ đó, cho rằng sử dụng hệ thống phân dạng nói trên với một sự thay thích hợp về cách sắp xếp, tổ chức lại sẽ có một hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điều kiện giúp học sinh nhận dạng phương trình và tìm được giải pháp thể hiện phương pháp giải chúng.
Trước hết, có thể chia các phương trình thành hai loại:
Loại phương trình lượng giác không có tham số và loại phương trình lượng giác có tham số: Về nguyên tắc, các phương trình không có tham số là những phương trình cụ thể nên phép giải chúng tương đối đơn giản.
Các phương trình có tham số nhìn chung sẽ phức tạp, vì vậy học sinh phải có khả năng phân tích để chia tập hợp các giá trị của tham số thành những bộ phận, trong đó phương trình có dạng chung thống nhất và lập luận thống nhất về biến đổi tương đương phương trình.
Chi tiết và cụ thể hơn, có thể phân dạng các phương trình lượng giác thành: Phương trình lượng giác cơ bản; phương trình lượng giác gần cơ bản; phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx; các phương trình lượng giác có thể đại số hóa; các phương trình lượng giác có thể biến đổi về phương trình tích; các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc về ẩn; các phương trình lượng giác không mẫu mực.
Phương trình lượng giác cơ bản là lớp phương trình đơn giản nhất nhưng lại là quan trọng nhất vì việc giải bất cứ phương trình nào cũng dẫn đến giải một trong những phương trình dạng này.
Các phương trình lượng giác cơ bản gồm:sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a, với x là ẩn, a là số đã cho.
Phương trình lượng giác gần cơ bản là các phương trình dạng sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a.
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:asinx+bcosx+c=0
Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa: Về nguyên tắc, mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép đặt ẩn phụ t=tan(x/2) và sử dụng các công thức hữu tỉ hóa.
Tuy nhiên có hai lí do chủ yếu không nên máy móc đặt ẩn phụ dạng này cho mọi trường hợp.
Thứ nhất, phép biến đổi trên làm thu hẹp miền xác định của phương trình. Thứ hai, phép đặt ẩn phụ trên làm bậc của phương trình tăng lên gấp đôi.
Do đó trong nhiều trường hợp, để đại số hóa một phương trình lượng giác cần xem xét cụ thể phương trình để lựa chọn một phép biến đổi thông minh hơn.
Các phương trình lượng giác có thể biến đổi đưa về tích: Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là một trong những kĩ thuật quan trọng nhất để giải phương trình nói chung và phương trình lượng giác nói riêng. Mục đích của phương pháp này là quy việc giải một phương trình phức tạp về việc giải một tập hợp các phương trình cơ bản.
Các em học sinh có thể chú ý ghi nhớ những biểu thức có thừa số chung cho trên bảng sau:
 |
Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn. Với dạng phương trình này khi giải ta phải đặt điều kiện và chú ý các phepa biến đổi tương đương ,khi giải xong nghiệm ta phải kiểm tra lại điều kiện để loại đi nghiệm vi phạm điều kiện.
Phương trình lượng giác không mẫu mực: Một số phương trình lượng giác không thể áp dụng những phương pháp truyền thống .
Gặp những dạng này học sinh cần vận dụng khéo léo phương pháp đánh giá các số hạng có trong phương trình(sử dụng tính chất của bất đẳng thức ) sử dụng các tính chất đơn điệu ,hay tính bị chặn của hàm số ,hoặc dùng đồ thị của hàm số để giải được chúng.
Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc
Đây là hoạt động thành phần quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt động dạy học giải phương trình lượng giác. Phần lớn các phương trình lượng giác có dạng thức không chỉ ra ngay con đường đi đến lời giải.
Việc nhận ra dạng phương trình cần giải mới chỉ gợi ý cho người làm một thuật toán chung, tổng quát để suy nghĩ tìm tòi lời giải. Do đó,trong hoạt động thành phần này, giáo viên cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải.
Một giờ học toán sinh động hay khô khan buồn tẻ, có trở thành niềm say mê, háo hức của học sinh hay không là tùy thuộc và năng lực điều khiển của giáo viên. Vì vậy mỗi giáo viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không ngừng nâng cao năng lực tiến hành biến đổi phương trình.
Giải phương trình nhận được
Nếu hoạt động biến đổi phương trình về dạng quen thuộc là quan trọng nhất thì hoạt động giải phương trình nhận được có vai trò quyết định trong toàn bộ hoạt động giải phương trình lượng giác.
Theo thầy Chinh, trước hết giáo viên cần dành thời gian thích đáng để rèn luyện kỹ năng giải các phương trình lượng giác cơ bản và đây là khâu quyết định cuối cùng của bất cứ hoạt động giải phương trình lượng giác nào; sản phẩm thu được có đạt yêu cầu, bảo đảm chất lượng hay không hoàn toàn phụ thuộc vào kỹ năng đơn giản nhất nhưng quan trọng này.
Do tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác y =sinx, y =cosx, y =tanx, y =cotx nên khi đó biến một nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản, ta biết tất cả các nghiệm của phương trình theo bảng dễ nhớ sau:
 |
Do tính chất đó nêu, giải các phương trình lượng giác cơ bản qui về tìm một nghiệm của phương trình đó.
Bên cạnh việc nắm vững công thức nghiệm tổng quát của các phương trình lượng giác cơ bản, giáo viên cũng cần lưu ý học sinh dạng rút gọn của công thức nghiệm vào phương trình lượng giác đặc biệt.
Một số lớn phương trình lượng giác được giải bằng phương pháp đại số hoá, vì vậy bên cạnh việc bồi thường các kỹ năng lượng giác, giáo viên cũng chú ý bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải phương trình đại số kỹ năng nhẩm nghiệm, giảm bậc phương trình bằng cách biến đổi phương trình về dạng tích.
Sau cùng, tính thuyết phục của một bài giải phụ thuộc vào khả năng trình bày giải của học sinh: Các phép đổi nào không tương đương, phân chia trường hợp phải hợp lý, đầy đủ.
Kiểm tra kết quả
Kết thúc hoạt động giải phương trình nhận được, học sinh thường có cảm giác mệt mỏi nhưng dễ chịu và hài lòng với thành quả lao động của mình. Vì lẽ đó, học sinh thường kết thúc hoạt động giải toán ngay sau hoạt động này.
Giáo viên cần thấy trước diễn biến tâm lý đó của học sinh để thường xuyên ý thức được yêu cầu rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, thông qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán.
Cần giúp học sinh biết kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài, xét tính hợp lý của đáp số so với đề tài hoặc bằng cách tìm những phương pháp khác nếu có thể, rồi so sánh các kết quả giải được.
Bên cạnh việc kiểm tra các nghiệm tìm được có thoả mãn các điều kiện đặt ra hay không, cần hướng dẫn học sinh kiểm tra lại tất cả các phép biến đổi phương trình, các công thức đã sử dụng, xét xem các phép biến đổi có tương xứng hay không, các công thức vận dụng đã đúng chưa, có làm thay đổi tập xác định ngoại lai (mở rộng tập nghiệm).
Cũng phải hướng dẫn học sinh nhìn lại bài toán xem đã xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra hay chưa, đặc biệt trong các bài toán có tham số. Bằng cách này chúng ta sẽ dần dần tập luyện cho học sinh có thói quen nhìn nhận vấn đề một cách toàn diện, theo nhiều khía cạnh, tránh phiến diện, hời hợt.
Phân tích các sai lầm
Việc chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó. Ngoài ra, bên cạnh việc vạch ra những sai lầm, phân tích được nguyên nhân, giáo viên cũng cần nghiên cứu và đề ra các biện pháp tích cực nhằm sửa chữa các sai lầm đó, làm được điều này chính là đã nâng cao năng lực toán học của học sinh.
Theo thầy Chinh, những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các phương trình lượng giác có thể là: Không hiểu được khái niệm, kí hiệu; tính toán nhầm lẫn; nhớ sai công thức;
Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất hoặc biến đổi phương trình làm thay đổi tập xác định của phương trình; xét thiếu trường hợp; lập luận thiếu logic; diễn đạt kém; không hiểu hoặc hiểu sai đề toán.
Mở rộng bài toán tương tự, khái quát hoá xét mối liên hệ với các bài toán liên quan
Kết thúc mỗi bài giải, giáo viên có thể tổng kết và chốt lại những nét đặc trưng về phương pháp giải của bài toán đó.
Để học sinh ghi nhớ tất cả những tri thứ phương pháp đó một cách tích cực và tự giác, giáo viên nên tìm những bài toán có phương pháp giải tương tự, những tình huống tương tự để cho học sinh tập dượt vật dụng các tri thức phương pháp vừa thu hoạch được.
