Nói rằng ông là nhà toán học số một trong nửa sau của thế kỷ 20 quả thực vẫn chưa xứng với tầm vóc và những công trình của ông. Chúng ta cần cưỡng lại thói quen gán một con số cho con người của những con số. Có những bài học sâu sắc hơn mà chúng ta có thể học được từ con người phi thường này cũng như cuộc đời phi thường của ông.
Trong toán học, Grothendieck đã cách mạng lĩnh vực hình học đại số. Nhờ Descartes, ta đã biết rằng các hình hình học có thể được mô tả bằng những phương trình. Khi viết “x2 + y2 = 1” tức là ta mô tả một đường tròn. Mỗi nghiệm của phương trình này không gì khác chính là một cặp tọa độ x và y của một điểm thuộc đường tròn đơn vị trên mặt phẳng.
Đây là ví dụ về một phương trình đại số, loại phương trình chỉ chứa tích các lũy thừa của các tọa độ, ví dụ như x2 hay x3y5. Vì số lượng các tọa độ có thể lớn tùy ý, giải những phương trình dạng này có thể rất khó. Nhưng chúng là nền tảng và rất nhiều trong chúng tồn tại trong tự nhiên. Hình học đại số nghiên cứu các phương trình này và những hình hình học hoặc không gian hình học mà chúng mô tả.
Ta thấy ngay một vấn đề: phương trình x2 + y2 = 1 cho ta một đường tròn chỉ khi ta xét các nghiệm trong miền số thực. Còn có rất nhiều các miền khác, chẳng hạn như các số phức (được xây dựng từ số ảo, là căn bậc hai của âm một).
Có thể thấy rằng các nghiệm của phương trình trên trong miền số phức là các điểm của một không gian hoàn toàn khác, cụ thể là một mặt phẳng bỏ đi một điểm. Đối với một miền khác, không gian của các nghiệm có thể là một tập hợp các đường tròn với những kích thước khác nhau: Hình dung một đường tròn dãn nở theo thời gian.
Như vậy, chỉ với một phương trình, ta có thể có được một họ các không gian. Chúng liên quan tới nhau và tới bản thân phương trình như thế nào? Cái nào có trước, phương trình hay không gian? Những câu hỏi này đã làm rối trí các nhà toán học hàng thế kỷ. Thiên tài của Grothendieck là ở chỗ phát hiện một “đối tượng” ẩn náu đằng sau mỗi phương trình (hay một hệ các phương trình) đại số, được đặt tên là “lược đồ” (scheme).
Những không gian nghiệm chỉ là những hình chiếu hay cái bóng của lược đồ này mà thôi. Hơn nữa, ông nhận ra rằng những lược đồ này tạo nên một thế giới phong phú. Chúng “tương tác” nhau, có thể “dán” được với nhau, v.v. Khái niệm lược đồ là một trong những hòn đá tảng trong nỗ lực phi thường của Grothendieck nhằm xây dựng lại lĩnh vực rộng lớn này.
Hàng ngàn trang nghiên cứu tỉ mỉ trong vòng hơn một thập kỷ, bắt đầu từ cuối những năm 1950, được biết đến với tên viết tắt của tựa đề tiếng Pháp là EGA (Cơ sở hình học đại số) và SGA (Chuyên đề hình học đại số). Bất hủ như bộ “Cơ sở” (Elements) của Euclid, cho tới nay vẫn chưa có công trình nào vượt qua được hai bộ sách này về sự rõ ràng, tổng quát, sự nhuần nhuyễn về kỹ thuật và sự hoàn chỉnh trong khái niệm.
Hai bộ sách là kết quả của những cuộc thảo luận bất tận, của những buổi seminar 12 tiếng, của cả sự tư duy đơn độc, hay nói gọn trong một từ, đó là kết quả của lao động - sự tìm kiếm kiên trì đến ám ảnh, không thỏa hiệp, để đến được với sự thật ở dạng phổ quát và trừu tượng nhất.
Như Pierre Deligne, một cựu sinh viên của Grothendieck và cũng là một nhà toán học đại tài, đã từng nói trên tờ Le Monde, Grothendieck “đã phải hiểu được mọi điều từ cách nhìn tổng quát nhất”, và khi ông đạt được điều đó thì mọi thứ “trở nên rõ ràng đến mức các chứng minh dường như tầm thường”. Có lẽ đó là lý do vì sao những ý tưởng của Grothendieck đã “thâm nhập vào tiềm thức của các nhà toán học”.
Dù ta có thể hỏi liệu những nghiên cứu của ông có thể ứng dụng được gì trong thực tế hay không, thì câu hỏi quan trọng hơn phải là, trong trường hợp tìm được ứng dụng, liệu con người có đủ sáng suốt để bảo vệ thế giới khỏi những nguy hiểm mà chính chúng ta tạo ra từ những ứng dụng đó. Việc sử dụng toán học sai mục đích gần đây khiến chúng ta không thể yên tâm được.
Ví dụ, theo các báo cáo được công bố, Cơ quan An ninh Quốc gia (NSA) đã gắn một cổng sau (back door) vào một thuật toán mật mã hóa được sử dụng rộng rãi dựa trên những “đường cong ê-lip-tic” - khái niệm toán học được sáng tỏ từ những nghiên cứu của Grothendieck. Dù rằng thuật toán cụ thể đó được phát triển rất lâu sau này, Grothendieck đã nhận ra mối nguy hiểm tiềm tàng của việc sử dụng toán học vào sai mục đích và đã lên tiếng cảnh báo.
Ông đã nổi giận khi biết IHES - viện toán học gần Paris nơi ông làm việc - nhận được sự tài trợ của Bộ Quốc phòng Pháp. Để phản đối, ông từ chức vào năm 1970 khi đang ở đỉnh cao của quyền lực. Ông đã hy vọng rằng các đồng nghiệp của mình sẽ nối gót, nhưng cuối cùng không có ai làm như vậy.
Từ đó, Grothendieck bắt đầu xa lánh cộng đồng học thuật, chỉ trích sự thiếu đạo đức và thiếu liêm chính của nó. Năm 1966, ông từ chối đến Moscow nhận Huy chương Fields, giải thưởng cao quý nhất của ngành toán học, để phản đối việc truy tố những người bất đồng chính kiến ở Liên Xô.
Năm 1988, ông từ chối nhận giải Crawford danh giá, và nhận xét thế giới khoa học “về cơ bản là không lành mạnh”. Ông cống hiến cho các vấn đề sinh thái từ lâu trước khi chủ đề này trở thành trào lưu, và giúp thành lập nhóm Survivre et Vivre, “một phong trào quốc tế vì sự sinh tồn của nhân loại”, vào năm 1970.
Đọc những bản tin của nhóm này, ta có thể thấy Grothendieck đối đầu với những cái xấu trong xã hội với một sự khắt khe và giận dữ rất đặc trưng của mình. Ông đã đấu tranh chống lại những bất công mà mình nhìn thấy, không chấp nhận bất cứ thỏa hiệp nào.
Đơn thương độc mã, Grothendieck không sợ là chính mình và luôn bảo vệ những gì mình tin là đúng. Người đã phát triển toán học theo những cách sâu sắc nhất này, không tin toán học là câu trả lời cho mọi thứ. Ông dạy chúng ta rằng cuộc sống có giá trị hơn bất cứ phương trình nào.
