Theo thông cáo của Đại học Nghiên cứu Quốc gia Trường Kinh tế Cao cấp (HSE), nhà toán học Nga Ivan Remizov đã xây dựng một công thức mang tính phổ quát để giải các bài toán trong lĩnh vực phương trình vi phân — nhóm bài toán từng bị coi là không thể giải bằng phương pháp giải tích trong hơn 190 năm.
Thành tựu này, theo HSE, có thể làm thay đổi đáng kể cách hiểu về một trong những lĩnh vực lâu đời nhất của toán học, vốn có vai trò quan trọng đối với vật lý cơ bản và kinh tế học.
“Hãy hình dung nghiệm của phương trình là một bức tranh lớn. Nhìn toàn bộ bức tranh cùng lúc là rất khó. Toán học rất giỏi mô tả các quá trình phát triển theo thời gian. Định lý của chúng tôi cho phép ‘cắt’ quá trình này thành nhiều khung hình nhỏ, đơn giản.
Nói cách khác, thay vì đoán xem bức tranh hoàn chỉnh trông như thế nào, định lý giúp chúng ta tái dựng hình dạng của nó bằng cách nhanh chóng ‘phát’ ‘bộ phim’ quá trình tạo ra nó,” ông Ivan Remizov, nghiên cứu viên cao cấp tại HSE ở Nizhny Novgorod, được dẫn lời trong thông cáo của trường.
Bài toán bị coi là “vô vọng” từ năm 1834
Theo ông Remizov, các phương trình vi phân bậc hai được sử dụng rộng rãi trong kinh tế học và vật lý để mô tả những quá trình biến đổi theo thời gian.
Ngay từ năm 1834, nhà toán học Pháp Joseph Liouville đã chỉ ra rằng nghiệm của các phương trình này không thể được biểu diễn thông qua các hệ số, các phép toán đơn giản và các hàm sơ cấp — tương tự cách học sinh giải phương trình bậc hai bằng biệt thức.
Vì vậy, việc tìm kiếm nghiệm giải tích cho các phương trình vi phân từng bị coi là “vô vọng” và gần như bị “bỏ quên” trong suốt 190 năm. Hệ quả là các nhà toán học ngừng theo đuổi một công thức “đơn giản” — tương tự công thức giải phương trình bậc hai ở bậc phổ thông — cho lớp bài toán này.
Ông Ivan Remizov, đồng thời là nghiên cứu viên cao cấp tại Viện Các vấn đề Truyền tải Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Nga (RAS), cho biết đã tìm ra một cách tiếp cận để giải bài toán tồn tại hàng thế kỷ này.
Chia vô hạn bước và dùng biến đổi Laplace để “đưa về” đại số
Phân tích của ông Remizov cho thấy một quá trình phức tạp, luôn biến đổi có thể được chia thành vô hạn bước đơn giản. Mỗi bước có thể được xấp xỉ để mô tả hành vi của hệ tại một thời điểm cụ thể. Từng mảnh riêng lẻ chỉ cho một bức tranh sơ lược, nhưng khi số lượng mảnh tiến tới vô hạn, chúng kết nối liền mạch thành một đồ thị nghiệm chính xác hoàn toàn.
Ngoài ra, khi áp dụng thêm một phép toán khác — biến đổi Laplace — lên các bước này, có thể “dịch” phương trình sang ngôn ngữ của các phép tính đại số thông thường, qua đó nhanh chóng suy ra kết quả cần tìm.
Nhìn về phía trước, theo tóm tắt của nhà khoa học, cách tiếp cận này không chỉ giúp tăng tốc tính toán đối với các phương trình vi phân vốn đã được dùng trong vật lý và các ngành khoa học khác, mà còn giúp các nhà toán học nhanh hơn trong việc tìm kiếm và nghiên cứu các hàm số mới.
