Sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân từng phần tìm nguyên phân - tích phân

Giúp học sinh nắm vững cấu trúc, biết cách trình bày

Trước tiên, giáo viên cần giúp học sinh ghi nhớ công thức nguyên hàm – tích phân từng phần thông qua liên hệ giữa công thức này với công thức đạo hàm của hàm dạng tích;

Sử dụng sơ đồ hóa công thức trong những ví dụ mẫu đầu tiên. Công thức được minh họa thành: "Tích chéo trừ Tích dọc":

Chọn lựa cách trình bày gọn gàng, đảm bảo tính chính xác. Ở đây có hai vấn đề: Một là từ cách chọn hàm u ta suy ra vi phân du của nó, hai là từ dv ta chỉ cần chọn một hàm v là đủ.

Do vậy ba khuôn mẫu trình bày sau đây đều thiếu chính xác ở các quan hệ liên kết:

Để tránh điều trên cho học sinh, giáo viên cần phân tích sai lầm (về logic) trong các trình bày đó, hướng dẫn học sinh trình bày đúng, chẳng hạn theo cấu trúc sau:

Giúp học sinh nhanh chóng nhận dạng và chọn lựa được u, dv hiệu quả

Với nội dung này, thầy Phạm Bắc Phú cho rằng, với các bài toán mẫu cần đi từ thử sai đến đúng: Giáo viên nên phân tích f(x)dx thành tích của hai nhóm theo một số cách khác nhau dẫn tới các cách chọn lựa u, dv khác nhau. 

Nên để học sinh tự thử nghiệm và thấy được trở ngại trong một số cách chọn lựa và đưa ra cách chọn lựa đúng đắn. Như vậy học sinh sẽ ghi nhớ được bản chất (ba tiêu chí).

Đối với đa số đối tượng học sinh đại trà, giáo viên nên đưa ra quy luật chọn u, dv thường dùng đó là: Phân tích f(x)dx thành tích của hai nhóm (loại) hàm theo thứ tự trước - sau (nếu có) là hàm lôgarít - hàm đa thức, phân thức hữu tỉ - hàm lượng giác – hàm mũ.

Loại hàm nào có mặt ở trước chọn là u, còn lại đứng sau là dv. Cách này có thể tóm tắt thành "khẩu quyết" : "Nhất Lô (logarit) – nhì Đa, Phân (đa thức, phân thức) – tam Lượng (lượng giác) – tứ Mũ (hàm mũ)" hoặc là "Lô-đa-phân-lượng-mũ".

Giáo viên cũng có thể sử dụng kĩ thuật điều chỉnh hằng số (hằng số đem cộng vào ) để giảm bớt biến đổi khi tìm nguyên hàm – tích phân chứa biểu thức logarit.

Ngoài ra, xây dựng hệ thống thí dụ minh họa và bài tập phân hóa cho học sinh theo mức độ vận dụng và kết hợp các phương pháp: Bài tập sử dụng trực tiếp phương pháp nguyên hàm – tích phân từng phần; bài tập sử dụng việc đổi biến trước rồi mới dùng phương pháp nguyên hàm – tích phân từng phần; bài tập tổng hợp – tách thành tổng của hai bộ phận, trong đó một bộ phận dùng nguyên hàm – tích phân từng phần, một bộ phận dùng phương pháp khác; bài tập nguyên hàm – tích phân từng phần "quay vòng".

Tìm hiểu ba cơ chế sáng tạo bài toán mới sử dụng tích phân từng phần:

Cơ chế 1 - Khi giải bài toán, ta dùng tích phân từng phần để chuyển sang một bài mới dễ hơn. Vậy, từ một bài cơ bản (quen thuộc), ta dùng công thức tích phân từng phần để tạo ra bài toán mới.

Cơ chế 2 - Kết hợp một bài toán dùng phương pháp tích phân từng phần với một bài toán dùng phương pháp khác.

Cơ chế 3 - Tạo ra bài toán tích phân từng phần "quay vòng" xuất phát từ đạo hàm của một hàm số dạng tích.