Học cách suy luận để vượt qua khó khăn hình học không gian

Ngoài việc không nắm được các khái niệm, các định lý, HS còn chịu ảnh hưởng lối tư duy của hình học phẳng. Các em thường ngộ nhận hay có nhận xét không đúng về vị trí của điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Nguyên nhân do cách suy luận tương tự một cách máy móc với những kiến thức về hình học phẳng, không biết lợi dụng sự tương tự từ hình học phẳng sang hình học không gian.

Hình dung về phép suy luận tương tự

Đưa ra những nhận định trên, thầy Hà Văn Long - giáo viên Trường THPT Yên Dũng số 2 (Bắc Giang) - cho rằng: Nếu biết vận dụng cách suy luận tương tự sẽ không chỉ giảm bớt khó khăn cho HS khi học hình học không gian mà còn giúp các em phát huy được trí tưởng tượng không gian, tư duy logic, tính linh hoạt, sáng tạo.

Suy luận tương tự là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó. Kết luận của phép suy luận tương tự chỉ mang tính chất ước đoán. Có thể biểu diễn thành sơ đồ: Giả sử đối tượng A có các thuộc tính a, b, c, d / Đối tượng B có các thuộc tính a, b, c / Kết luận: Đối tượng B chỉ có thuộc tính d. Giả sử đối tượng A có các thuộc tính a, b, c, d / Đối tượng B có các thuộc tính a, b, c, x / Kết luận xd.

Thầy Hà Văn Long lưu ý, trong Toán học người ta thường xét vấn đề tương tự trên các khía cạnh. Chẳng hạn như: Hai phép chứng minh là tương tự nếu chúng có đường lối và phương pháp chứng minh như nhau.

Hai hình là tương tự nếu nội dung của chúng có nhiều tính chất giống nhau, nếu chúng đề cập đến các vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau. Như vậy, đường thẳng trong hình học phẳng là tương tự với mặt phẳng trong hình học không gian. Vì đường thẳng là đường đơn giản nhất trong hình học phẳng, vai trò của nó giống như mặt phẳng là mặt đơn giản nhất trong hình học không gian.

Có một số định lý vẫn còn đúng nếu thay từ đường thẳng bởi từ mặt phẳng và ngược lại. Chẳng hạn mệnh đề: “Nếu hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”. Có thể thay “đường thẳng” bởi “mặt phẳng” ta sẽ được một định lý trong hình học không gian. Hay tam giác vuông là tương tự với tứ diện ba mặt vuông vì những quan hệ giữa các cạnh của tam giác vuông giống như những mối quan hệ giữa các mặt của tứ diện ba mặt vuông.

Lưu ý khi sử dụng suy luận tương tự

Để tiến hành suy luận tương tự, thầy Hà Văn Long cho rằng, bao giờ cũng bắt đầu bằng sự so sánh; tức là tìm ra sự giống nhau, khác nhau của hai đối tượng mang ra so sánh. Song, việc so sánh không dừng lại ở đó mà phải dẫn đến sự kiện mới. Như vậy, so sánh là xuất phát điểm của tương tự và tương tự hoá là mục đích của so sánh. Tương tự giúp ta dự đoán sự kiện chưa biết từ sự kiện đã biết. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, kết luận tương tự rút được ra bằng so sánh lại không chính xác vì chỉ chú ý tới hình thức chứ không chú ý tới bản chất của quy luật chi phối giữa các yếu tố đó.

Vì vậy, để sự tương tự đạt tới sự chính xác toán học, phải kết hợp với so sánh và kết hợp với phép quy nạp không hoàn toàn, phải xem xét thực nghiệm trên nhiều trường hợp cụ thể. Mặt khác, cũng cần biết kết hợp với phân tích và tổng hợp, nắm được sự tương ứng giữa hai đối tượng mang ra so sánh...

Thầy Hà Văn Long đưa ví dụ: Khi dạy về định lí mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng với đường thẳng thì HS dễ mắc sai lầm khi vận dụng định lí trong phẳng vào trong không gian như sau: “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”. Rõ ràng trong trường hợp này, nếu ta đưa ra phản ví dụ thì HS sẽ thấy ngay sai lầm đó.

“Nếu chỉ là giống nhau về mặt hình thức có thể dẫn tới tương tự không chính xác. Bằng so sánh, đối chiếu các bước giải giữa hai phần hình học ta thấy rõ các sai lầm đó. Vì thế, giáo viên nên chú ý cho HS rằng: Kết luận của phép suy luận tương tự chỉ mang tính chất ước đoán, có thể đưa đến kết luận sai lầm nên luôn phải kiểm tra lại, ngăn ngừa suy luận máy móc” – thầy Hà Văn Long lưu ý.

Sử dụng phép suy luận tương tự giải bài tập hình học

Phần lớn HS đều cho rằng: Giải bài toán hình học không gian khó hơn nhiều so với hình học phẳng. Tuy nhiên, theo thầy Hà Văn Long, trên thực tế, hình học không gian liên quan chặt chẽ tới hình học phẳng nếu đã có kiến thức vững vàng, óc suy luận tốt với các bài toán phẳng thì cũng sẽ dễ dàng làm quen và chóng tiến bộ trong giải toán hình học không gian. Một số bài toán tương tự trong hình học phẳng thường được sử dụng làm phương tiện để giải quyết các bài toán trong không gian, hay được mở rộng sang bài toán hình học không gian.

Đứng trước một bài toán hay một vấn đề cần giải quyết, người làm toán thường tự đặt câu hỏi (liên tưởng): Có giống (tương tự) với bài toán nào đã biết không? Có thể sử dụng phương pháp hay kết quả của bài toán đó để giải bài toán ban đầu hay không? Có phải là trường hợp riêng của bài toán nào đã biết hay không? Có trường hợp riêng nào? Có thể giải được các trường hợp riêng đó không? Từ đó có thể giải được bài toán ban đầu hay không?

Thầy Hà Văn Long cho biết, trong thực tế, việc tìm được một bài toán phụ, bài toán liên quan là không khó khăn ngay cả đối với người ít kinh nghiệm. Tuy nhiên, có được bài toán phụ, bài toán liên quan hữu ích cho việc tìm lời giải bài toán cũng như việc rèn luyện năng lực giải toán không phải là đơn giản.

Trước hết, mỗi bài toán liên quan phải giải được, lời giải của nó càng đơn giản càng tốt. Lời giải của bài toán ban đầu (ở đây là bài toán hình học không gian) có thể tìm được nhờ sử dụng phương pháp giải hay kết quả (trong hình học phẳng) có thể chỉ là các bước giải được thực hiện giống với các bước giải ban đầu.

Vì vậy, bồi dưỡng năng lực tương tự hóa cho HS không chỉ là mục đích hướng dẫn các em giải toán trong hình học không gian nói chung, trong chương “Quan hệ vuông góc” nói riêng mà còn là phương tiện rèn luyện kỹ năng giải toán. Việc này đòi hỏi giáo viên thường xuyên bồi dưỡng năng lực tương tự hóa cho HS.

“Xem xét, vận dụng phép suy luận tương tự trong giải bài tập như thế sẽ giúp nhiều cho việc tìm tòi định hướng, tìm đường lối giải quyết bài toán. Hơn nữa, còn giúp HS trong việc sáng tạo và mở rộng bài toán” – thầy Long khẳng định.